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Un número primo debe cumplir tres condiciones:

  • debe ser un número natural (por lo que números como 1,2, -7 o 3 están fuera de cuestión);
  • debe ser mayor que 1;
  • no debe ser el producto de otros dos números.

Entonces, esencialmente, un número primo es cualquier número natural a partir de 2 que no es divisible con ningún otro número que no sea 1 o él mismo. Por ejemplo:

  • 5 es un número primo, solo se puede escribir como producto de 1 x 5;
  • 6 no es un número primo, se puede escribir como 23.

Un número que no es primo se llama compuesto . Todos los números naturales son primos o compuestos .

Comprender los conceptos básicos de los números primos

Todos los números naturales son primos o compuestos, pero ¿qué significa eso realmente? Bueno, básicamente significa que si tomamos cualquier número natural, puede escribirse como un producto de otros dos números o es un número primo. No hay término medio. Si nos fijamos en la imagen de arriba, 12 se escribe como 4 x 3. También se puede escribir como 6 x 2, pero no importa.

Ya sea que haya una forma de escribir un número como producto o un millón de formas de escribirlo como producto, sigue siendo un número compuesto y, por lo tanto, no es primo.

Todo número primo solo se puede escribir como 1 por sí mismo. Cada número compuesto se puede escribir como un producto de números primos (algo que se llama descomposición en factores primos).

Comprobar si un número es primo

La forma aproximada de buscar números primos es tomar cualquier número e intentar ver si algún número lo divide por igual. En otras palabras, si tiene divisores distintos de 1 y él mismo, no es primo.

Demostración, con varillas de Cuisenaire, de que 7 es primo, porque ninguno de 2, 3, 4, 5 o 6 lo divide por igual.

Pero podemos ser un poco más inteligentes en nuestra búsqueda de números primos.

Podemos eliminar la mitad de ellos desde el principio. ¿Cómo? Usando el número 2. Cada número es impar o par, por definición. Los números pares son divisibles por 2, lo que significa que se pueden escribir como 2 por algo y, por lo tanto, son compuestos, no primos. El número 2 es el único número primo par.

Con los números impares, podemos usar un enfoque similar, pero usando otros números en lugar de 2. Por ejemplo, 3 es un número primo, por lo que puede usarse para descartar otros números que no son primos. En realidad, este es un algoritmo muy antiguo que se usa para descubrir números primos: comienzas desde 2 y luego, cada número primo que encuentras, lo usas para eliminar sus múltiplos. No necesitas usar 4 ya que es un número par, y ya sabemos que aparte de 2, ningún número primo es par. Así que podemos pasar a 5, 7 y seguir adelante. Esto se llama tamiz, y comúnmente, el tamiz de Eratóstenes, ya que el antiguo matemático griego Eratóstenes lo describió por primera vez. Puede ver una representación visual de cómo funciona en la siguiente imagen:

También puede volverse un poco más inteligente con sus tamices de búsqueda principal. Por ejemplo, digamos que desea verificar si el número 100 es primo (alerta de spoiler, no lo es). No necesita verificar todos los números del 2 al 100, puede dejar de verificar en 50, que es la mitad de 100. ¿Por qué? Míralo de esta manera:

  • todo número se puede escribir como: número (n) = mitad x 2. Todo número es el doble de su mitad. Si llega a un número más allá de la mitad del valor ns, debe multiplicarlo por algo más pequeño, pero no hay nada más pequeño que 2. Por lo tanto, no necesita mirar más allá de la mitad del número.

Podemos ser aún más inteligentes que esto: ni siquiera necesita verificar hasta la mitad del número, solo necesita verificar hasta su raíz cuadrada (n).

Buscar números primos es un ejercicio común no solo en matemáticas, sino también en programación, donde el objetivo es aprender a diseñar y optimizar un algoritmo.

Una lista de números primos hasta mil:

2 3 5 7 11 13 17 19 23
29 31 37 41 43 47 53 59 61 67
71 73 79 83 89 97 101 103 107 109
113 127 131 137 139 149 151 157 163 167
173 179 181 191 193 197 199 211 223 227
229 233 239 241 251 257 263 269 271 277
281 283 293 307 311 313 317 331 337 347
349 353 359 367 373 379 383 389 397 401
409 419 421 431 433 439 443 449 457 461
463 467 479 487 491 499 503 509 521 523
541 547 557 563 569 571 577 587 593 599
601 607 613 617 619 631 641 643 647 653
659 661 673 677 683 691 701 709 719 727
733 739 743 751 757 761 769 773 787 797
809 811 821 823 827 829 839 853 857 859
863 877 881 883 887 907 911 919 929 937
941 947 953 967 971 977 983 991 997

Algunas propiedades de los números primos

Los números primos pueden parecer solo una nueva peculiaridad, pero los matemáticos han estado fascinados con ellos durante milenios (como veremos en un momento). Tienen varias propiedades que las hacen especiales aquí son solo algunas de ellas.

  • Hay infinitos números primos

La secuencia de números primos nunca termina. Puede ser cada vez más difícil encontrar números primos, pero siempre habrá uno aún más grande. Esto fue probado por primera vez por el matemático griego antiguo Euclides. El número primo más largo que conocemos tiene 22 millones de dígitos.

  • No existe una fórmula eficiente para calcular números primos.

Los matemáticos han ideado varias formas de codificar o buscar números primos, pero ninguna de ellas es muy eficiente. Esta es una de las cosas que hace que los números primos sean tan atractivos. No sabemos cuándo y cómo ocurren los números primos, simplemente podemos calcularlos.

  • 1 no es técnicamente un número primo

Esto a veces inicia debates extraños y no tiene verdaderas consecuencias, pero el 1 no suele considerarse un número primo. Sin embargo, no hay una razón estricta para eso. Los antiguos griegos (y los matemáticos árabes también) no consideraban que el 1 fuera un número en el sentido de que todos los demás números eran más una unidad para los números que un número en sí mismo. En los siglos XVIII y XIX, algunos matemáticos lo consideraban primo, mientras que otros no. Hoy en día, realmente no lo consideramos un primo, aunque solo sea por el hecho de que tendríamos que reescribir la definición de números primos de una manera que es más incómoda.

  • Los números pueden ser primos entre sí (pero técnicamente no son primos)

Dos números que no tienen ningún divisor común se consideran coprimos y esto no significa que sean realmente primos (aunque pueden serlo). Por ejemplo, los números 25 y 4 son coprimos, porque 25=55, mientras que 4=22, y tienen divisores comunes.

Historia de los números primos

El papiro matemático Rhind, de 1550 a.

Puede pensar que los números primos son una peculiaridad moderna que se les ocurrió a los matemáticos, pero en realidad han fascinado a la gente durante siglos, no, milenios. Un papiro egipcio que data de hace 3.550 años hace referencia a los números primos, y el trabajo histórico de Euclides sobre los Elementos demuestra que hay infinitos números primos. Varios matemáticos griegos muy conocidos se ocuparon de los números primos, incluido Eratóstenes, cuyo tamiz acabamos de ver.

Coincidentemente o no, el período en el que la gente no parecía realmente interesada en los números primos es un período que ahora llamamos la Edad Media. Algunos matemáticos islámicos observaron los números primos, que Fibonacci trajo a Europa, traduciendo y analizando el trabajo. Después de eso, los matemáticos más brillantes observaron los números primos: Pierre de Fermat declaró (pero no probó) el pequeño teorema de Fermat, que luego fue probado por Leibniz y Euler.

Muchos matemáticos también han tratado de encontrar formas de predecir la aparición de números primos, pero esto ha demostrado ser un Grial oculto. Desde 1951, todos los números primos más grandes conocidos se han descubierto utilizando computadoras.

¿Por qué los números primos son tan importantes?

Durante mucho tiempo, los números primos fueron canónicos y puramente una peculiaridad de las matemáticas, pero con poca importancia fuera de las matemáticas. Ahora, sabemos que esto no es cierto y que los números primos tienen aplicaciones importantes en varios campos.

Por ejemplo, el número de ruedas dentadas en dos engranajes a menudo se elige para que sean primos entre sí, para crear un contacto parejo entre cada rueda dentada de ambas ruedas y evitar desgaste y daños innecesarios, pero técnicamente esto no es una aplicación de números primos.

El momento en que los números primos cobraron una gran importancia fue en la década de 1970, cuando se anunció por primera vez que los números primos podrían servir como base de los algoritmos de criptografía de clave pública. En otras palabras, cada vez que usa Internet para enviar un mensaje encriptado (como probablemente lo hace a diario), utiliza un algoritmo basado en números primos, específicamente porque son muy misteriosos y difíciles de evaluar.

Los números primos también juegan un papel en campos como la mecánica cuántica y el álgebra abstracta. Quizás aún más intrigante, se ha demostrado que los números primos también juegan un papel para algunas especies biológicas. Las cigarras del género Magicicada, por ejemplo, pasan la mayor parte de su tiempo como larvas bajo tierra. Surgen después de 7, 13 o 17 años todos los números primos. Los biólogos creen que esto no es una coincidencia: las cigarras emergen de esta manera para evitar que los depredadores se sincronicen con su ciclo de vida. Además de las muchas aplicaciones de los números primos en matemáticas, la investigación moderna parece indicar que, al menos en algunos casos, los números primos también juegan un papel en otros campos.

La investigación de los números primos está lejos de terminar. Sin duda, hay muchos más misterios principales que esperan ser descubiertos, esto solo está arañando la superficie.

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