Seleccionar página

La perdición de los estudiantes de secundaria (ya veces universitarios), el cálculo es en realidad una bendición para la humanidad, una compleja y bastante difícil de entender, pero sigue siendo una bendición.

El cálculo es una forma de matemática avanzada que se ocupa de cómo cambian las cosas. Es básicamente un sistema de estudio de cómo cambia un valor en relación con otro; también puede escucharlo referido como el estudio de los infinitesimales.

Por ejemplo, si sabe cuánto dinero recibe y gasta todos los días, el cálculo puede ayudarlo a comprender cuánto dinero tendrá después de varios días. O, como es el caso en muchos problemas de física, puede calcular cuánto tiempo tardaría un automóvil en detenerse si conoce su velocidad y desaceleración. El cálculo puede ser una molestia, pero es una molestia muy importante.

Ah, y sí, contrariamente a la creencia popular, el cálculo es útil en la vida real, ya sea directamente o entrenando tu mente para ver las cosas de manera científica.

¿Se descubrió o se inventó el cálculo?

Una pregunta interesante que a veces surge con respecto al cálculo es si fue descubierto o inventado. La pregunta es de naturaleza bastante filosófica, por lo que es difícil responderla de una forma u otra.

En términos generales, los matemáticos hablan de descubrir una demostración o un método, y esto también parece ser el caso del cálculo. El cálculo fue descubierto (o inventado) a fines del siglo XVII por Sir Isaac Newton en Inglaterra y Gottfried Leibniz. Los dos trabajaron por separado y tuvieron un poco de rivalidad entre ellos, incluso terminaron discutiendo sobre quién merece crédito por cálculo.

Newton, que recibió el apoyo de científicos británicos, necesitaba cálculo para estudiar el movimiento de los planetas en el cielo, lo cual era importante tanto científicamente (ya que el campo de la astronomía estaba despegando en ese momento) como prácticamente porque era importante para la navegación de barcos. . Leibniz, que contó con el apoyo de científicos del resto de Europa, estaba más interesado en calcular el área bajo una curva, un problema desafiante para los matemáticos de la época.

Sinceramente, poco nos importa quién lo descubrió. Ambos hombres fueron titanes de la ciencia y las matemáticas, y ambos hicieron valiosas contribuciones que son útiles hasta el día de hoy.

A decir verdad, Newton y Leibniz no fueron los primeros en incursionar en el cálculo, aunque fueron los primeros en desarrollarlo como un sistema riguroso. Muchas ideas en cálculo aparecieron en la antigua Grecia, e incluso antes. Algunas menciones de formas de calcular el volumen y el área, uno de los primeros objetivos del cálculo integral, aparecen en el papiro egipcio de Moscú de hace más de 3.800 años. El matemático Euxodo de la Antigua Grecia discutió el método de agotamiento en el siglo IV a. C., y Arquímedes se basó más tarde en estos métodos, desarrollando cálculos que se asemejan al cálculo. Independientemente, el matemático chino Liu Hui descubrió el método de agotamiento (que calcula el área de una forma inscribiendo en su interior una secuencia de polígonos cuyas áreas convergen al área de la forma original) siete siglos después, alrededor del año 300 d.C. Muchos matemáticos de otras partes del mundo hicieron contribuciones al cálculo, incluido un tratado fundacional del matemático italiano Bonaventura Cavalieri, pero no fue hasta Leibniz y Newton que realmente tuvimos cálculo.

La esencia del cálculo.

Hay dos tipos diferentes de cálculo (cálculo diferencial y cálculo integral). Las dos son operaciones inversas (algo así como la suma y la resta, pero no del todo), y llegaremos a ellas en un momento. Pero antes de eso, echemos un vistazo a lo que realmente hace funcionar el cálculo: y eso es infinitesimales.

Digamos que quieres calcular el área bajo una curva, como lo hizo Leibniz. Si la curva resulta ser un semicírculo o alguna otra característica bien conocida, con suerte tenemos la fórmula para eso. Pero, ¿y si es solo una curva aleatoria? Bueno, comencemos siendo asquerosos al respecto: aproximemos el área debajo de la curva por un rectángulo. Bueno, como te puedes imaginar, no es muy exacto. ¿Y si en lugar de uno usáramos dos o tres rectángulos de diferentes alturas? Bueno, todavía no es realmente bueno, pero está un poco más cerca de la verdad.

Ahora, ¿qué pasa si agregamos algunos rectángulos más? Bueno, todavía estaremos fuera, pero cuantos más rectángulos agreguemos, más cerca estaremos de aproximarnos a la forma debajo de la curva. A medida que agreguemos más y más rectángulos, nos acercaremos más y más a la verdad. En última instancia, si agregamos un número infinito de rectángulos infinitamente pequeños, nos acercaremos infinitamente, es decir, nuestra aproximación ya no es una aproximación, es la curva real.

Animación vía Wikipedia.

Así que tenemos una forma perfectamente algebraica de calcular problemas geométricos complejos. Pero esto también se aplica a los valores físicos. La curva podría ser, por ejemplo, la velocidad de un automóvil o la tasa a la que gasta el dinero, y el cálculo puede ser de gran utilidad aquí.

El cálculo ofrece un marco completamente nuevo para tratar con cantidades físicas, especialmente en lo que respecta a cómo cambian con el tiempo. Podemos estudiar la trayectoria de los objetos como quería Newton, o observar la velocidad o la aceleración. Incluso podemos ver cosas más complejas, como las leyes del electromagnetismo o incluso la teoría general de la relatividad de Einstein, todas ellas usan cálculo.

Esta forma de trabajar con infinitesimales es uno de los pilares fundamentales del cálculo. Otro bloque de construcción de este tipo son los límites.

Un límite es un valor de una función (o secuencia) que se aproxima a algún valor sin llegar a alcanzarlo. Si desea comparar o calcular cosas que son infinitamente pequeñas, necesita límites. En el ejemplo anterior de la curva, tendrá una cantidad infinita de rectángulos, pero serán infinitamente pequeños. Los límites le permiten trabajar con infinitos y ceros sin que se rompan las matemáticas. Tomemos un ejemplo simple.

Digamos que tienes una función, f(x), que se define de la siguiente manera:

Eso está muy bien, puedes calcular tu función para casi todos los valores de x sin problema. Pero, ¿qué sucede cuando x = 1? Bueno, tu función se convierte en (1-1)/(1-1), que es 0/0 y, como sabemos, 0/0 no está definido. Pero digamos que eres muy terco y quieres acercarte mucho a 1.

Probemos el mismo enfoque que con la curva y hagamos una aproximación general. Digamos x = 0.5. Si hacemos el cálculo, la f(x) es 1,5. Si hacemos x = 0,75 es 1,75. Veamos algunos valores más:

X f(x)
0.5 1.5
0.75 1.75
0.9 1.9
0.99 1.99
0.999 1.999
0.9999 1.9999
1.0001 2.0001

Intuitivamente, ya puedes ver que la función cuando x = 1 tiende a converger alrededor de f(x) = 2. Queremos decir que la respuesta es 2, pero no podemos decir que es exactamente 2, así que usamos límites para decir que cuando x es casi pero no del todo 1, la respuesta es 2.

Técnicamente, podemos usar un límite para calcular cuándo x se acerca infinitamente a 1 a través de un límite:

También podemos ver esto trazando la función, con los valores de x en la horizontal y los valores de f(x) (o y) en la vertical.

El gráfico muestra una línea continua con una excepción, resaltada por el cuadrado verde: se descompone cuando x=1. Entonces, en esencia, nuestra función es casi 2 cuando x es casi 1, pero se descompone (es indeterminada) cuando x es en realidad 1.

Entendiendo integrales y derivadas

Ahora tenemos las herramientas básicas que necesitamos para ver derivadas e integrales, la carne del cálculo.

El cálculo diferencial divide las cosas en pequeñas piezas diferentes (derivadas) y cómo cambian de un momento a otro, mientras que el cálculo integral une (integra) las piezas y nos dice cuánto ha cambiado en general.

Una integral definida de una función se puede representar como el área de la región delimitada por su gráfica. Imagen vía Wikipedia.

La teoría fundamental del cálculo une a los dos. Si tiene una función continua f , hay una derivada de esa función y una antiderivada, comúnmente llamada integral indefinida (llamada F), y esas dos son operaciones opuestas. Puede usar uno para deshacer el otro, al igual que puede usar la multiplicación para deshacer la división y viceversa. Si nuestra función está ligada a un intervalo [a,b], entonces f es la derivada de F, y F es la integral de f sobre ese intervalo en particular. Esencialmente:

Eso parece un poco complejo, pero la buena noticia es que ya hicimos una integral. ¿Recuerdas nuestro ejemplo de arriba, con la curva y los rectángulos? Bueno, en cálculo, una integral puede considerarse como el espacio bajo la gráfica de una ecuación, en otras palabras, el área bajo la curva. En cierto sentido, la integral es una suma; en el caso del área bajo la curva, es la suma de todos los rectángulos pequeños que usamos para aproximarla.

Ahora veamos qué significa tener una integral sobre un intervalo. En nuestro ejemplo de curva de antes, nuestro intervalo fue desde el inicio de la curva hasta el final de la curva. Pero no es necesario que sea de principio a fin, simplemente podemos elegir un punto de inicio y final, y calcular nuestra integral (el área debajo de la curva) para esa parte particular de la curva. Veamos lo que eso significa en forma gráfica:

Animación vía Wikipedia.

Entonces, ¿qué significa esto para los derivados?

Bueno, los derivados miden la tasa de cambio de un valor con respecto a otro más comúnmente, de un valor con respecto al tiempo. El ejemplo más simple de derivadas es la posición, la velocidad y la aceleración.

Digamos que estás en alguna posición y quieres calcular tu posición futura. Para hacer eso, todo lo que necesita saber es su velocidad, por lo que la velocidad se define como la tasa de cambio de posición. En pocas palabras, la velocidad es el cambio de posición por unidad de tiempo, ya sean millas por hora o metros por segundo. Por el contrario, la integral definida de la velocidad nos dará la distancia recorrida.

Entonces, ¿qué es la aceleración?

Bueno, así como la velocidad mide el cambio de posición en el tiempo, la aceleración mide el cambio de velocidad. Entonces, al igual que la velocidad es la derivada de la posición, la aceleración es la derivada de la velocidad, o la segunda derivada de la posición (trivia divertida, la tercera derivada se llama tirón o sacudida).

Aquí hay una animación simple de la tasa de cambio versus la curva para ayudarlo a visualizar cómo se relacionan los dos:

Animación vía Wikipedia.

Cómo calcular derivadas e integrales

Ahora que, con suerte, hemos comenzado a comprender qué significan realmente las derivadas y las integrales, veamos cómo se pueden calcular. Este es un campo muy complejo por derecho propio y solo veremos los conceptos básicos para comenzar.

Cálculo de Derivadas

Una derivada generalmente se define así:

Las derivadas a menudo se notan usando f(x) y un apóstrofe después de la f. La notación es f(x) o y, en algunos casos. Las notaciones dx/dy o d/dx también se usan comúnmente, especialmente en física (o dx/dt, si es la tasa de cambio en el tiempo).

Ya podemos sacar algunas conclusiones. Por ejemplo, la derivada de cualquier valor constante siempre será 0. Dado que la derivada es la tasa de cambio y una constante no cambia, la tasa de cambio siempre será 0. El principio es sencillo, pero puedes probarlo. Si f(x)=c :

Otra conclusión es que cuando f(x)=x, la derivada será constante. En otras palabras, x = 1; la pendiente de la recta siempre será constante. Una vez más, podemos probar eso. Si f(x)=x:

A partir de esto, es posible que ya tenga una idea de lo que esto significa para las funciones lineales de la forma ax + b . En esta situación, la b no importa, ya que será 0, y dado que la derivada de x es 1, entonces (ax + b) = 1. Piensa en ello como la pendiente de una línea: la pendiente de un valor constante es siempre 0, la pendiente de 2x siempre es 2, la pendiente de 3x siempre es 3, y así sucesivamente. La geometría a menudo puede ayudar a visualizar problemas de cálculo.

Las derivadas de las potencias de x son bastante sencillas, te daré una pista para ver si puedes encontrar el patrón:

¿Lo atrapaste? Para todo número n, la derivada de x elevada a n será:

Hay formas de calcular derivadas más complejas (incluidas las funciones trigonométricas), pero no entraremos en eso aquí. Encontrará algunas fórmulas de cálculo útiles en la siguiente sección, pero eso es todo.

Cálculo de integrales

Las integrales son la inversa de las derivadas, por lo que todo lo que necesitas hacer para calcular la integral es invertir la derivada. Bueno, técnicamente hablando, la antiderivada es la integral indefinida:

Las integrales definidas se calculan sobre un intervalo definido, como su nombre lo indica, por lo que se verían así:

En cualquier caso, el primer paso es calcular la integral indefinida. En el primero, ese es el final de la historia, mientras que en el segundo, tienes que hacer un paso adicional: calculamos la integral indefinida tanto en a como en b , y luego las restamos. Si consideramos que F es la integral indefinida, entonces:

No existe una forma sencilla de calcular integrales a menos que memorice fórmulas integrales o tenga acceso a ellas. Hay reglas de integración, que se abordan a continuación, pero la mejor manera de ver las integrales es como lo opuesto a las derivadas. Si x = 1, entonces 1 = x (una notación diferente sería F(1)=x). ¡Pero presta atención a las constantes! Dado que este ejemplo es indefinido y las derivadas cancelan las constantes, no hay forma de saber si la derivada tenía una constante en primer lugar, así que técnicamente hablando, 1 = x + c , donde c es una constante.

Si tuviéramos que convertir eso en una integral definida, entonces sería integral de a hasta b . Demos otro ejemplo aleatorio y digamos a=7 yb=10. Calculamos F(x) cuando x=a y F(x) cuando x=b, y luego los restamos. Como nuestra F(x) es en realidad x, terminamos con ba, o 10 7.

Si eso suena un poco complejo, bueno, lo es. En cálculo, como en la vida, no hay atajos y las cosas pueden ser simples y muy, muy complicadas.

fórmulas de cálculo

Funciones derivadas

En esta notación, la marca pequeña significa Derivada de, y f y g son funciones. El número e es la constante conocida como número de Eulers.

Funciones comunes Función Derivado
Constante C 0
Línea X 1
hacha a
Cuadrado x2 2x
Raíz cuadrada X ()X –
Exponencial ex ex
hacha en (a) hacha
logaritmos en(x) 1/x
registro de un (x) 1 / (x ln(a))
Trigonometría (x está en radianes) pecado(x) porque(x)
porque(x) pecado(x)
bronceado(x) segundo 2 (x)
trigonometría inversa sen -1 (x) 1/(1×2)
porque -1 (x) 1/(1×2)
bronceado -1 (x) 1/(1+x2)
Normas Función Derivado
Multiplicación por constante cf cf
Regla de poder xn nx n1
regla de la suma f + g f + g
Regla de diferencia fg fg
Regla del producto fg fg + fg
Regla del cociente g/f (fggf )/g 2
Regla recíproca 1/f f/f 2
Cadena de reglas
(como composición de funciones)
fg (fg) g
Regla de la cadena (usando ) f(g(x)) f(g(x))g(x)
Regla de la cadena (usando d dx ) dy dx = dy du du dx

fórmulas integrales

Funciones comunes Función Integral
Constante un dx hacha + C
Variable xdx x 2 /2 + C
Cuadrado x 2 x x 3 /3 + C
Recíproco (1/x) dx ln|x| + C
Exponencial ex-dx ex + C
hacha hacha /ln(a) + C
ln(x) dx x ln(x) x + C
Trigonometría (x en radianes) cos(x) dx sen(x) + C
sen(x) dx -cos(x) + C
segundo 2 (x) dx tan(x) + C
Normas Función Integral
Multiplicación por constante cf(x) dx cf(x) dx
Regla de potencia (n-1) xn dx x n+1 n+1 + C
regla de la suma (f + g) dx f dx + g dx
Regla de diferencia (fg) dx f dx g dx

Entonces, ¿qué hace el cálculo por mí?

Bueno, me alegra que hayas preguntado. Vamos a tener un poco de perspectiva.

El cálculo es una forma de matemáticas avanzadas. No lo necesitarás cuando vayas al cine o tomes una copa con amigos (aunque siempre puede generar conversaciones interesantes). Si trabaja en cualquier campo de la ciencia, la ingeniería, las finanzas o la sociología, lo más probable es que se encuentre con el cálculo en algún momento. Pero incluso si no lo hace, el cálculo puede ser útil de la misma manera que lo es toda la educación matemática: lo ayuda a comprender las cosas.

El cálculo es esencial para comprender cosas como el cambio y la evolución, para observar cosas como las tasas de interés y los préstamos, o simplemente para comprender algunos de los artículos que escribimos aquí en ZME Science.

He aquí un claro ejemplo: la pandemia del COVID-19. Hablamos de pacientes existentes, pacientes nuevos, tasa de cambio, tasa de supervivencia y, para ser totalmente franco, incluso algunos políticos de alto rango han demostrado una total falta de comprensión cuando se trata de estas cosas. Si no trabajas en ciencias, no usarás el cálculo escribiendo cosas en un papel, pero aplicarás la comprensión a las cosas en tu día a día, y eso puede ayudarte a crecer como persona.

"