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La forma en que se distribuyen estos números se asemeja a un patrón que los científicos han observado en la distribución de átomos en los cristales.

Números primos, representados como puntos en el llamado tamiz de Eratóstenes.

Un enigma principal

Los números primos son extraños y han fascinado a los investigadores desde la antigüedad. Son números enteros que solo se pueden dividir entre 1 y ellos mismos, lo que significa que, en cierto modo, son los componentes básicos de las matemáticas, ya que se pueden usar para dividir todos los demás números. Pero su distribución parece realmente aleatoria. Abróchate el cinturón, nos espera un viaje extraño.

Solo piénsalo: el primer número primo es 2, y es el único número par ya que divide a todos los demás números pares. Los siguientes números primos son 3, 5 y 7, que parecen formar un patrón, pero eso es solo una apariencia engañosa. Los siguientes son 11, 13 y 17. Después de eso, tienes 19, 23 y 29, y se vuelve más y más extraño a medida que avanzas hacia números más grandes. Por todas las cuentas, son simplemente aleatorios.

Como señaló con elocuencia el matemático británico RC Vaughan: Es evidente que los números primos se distribuyen aleatoriamente pero, lamentablemente, no sabemos qué significa aleatorio.

Esto no deja de ser útil, especialmente porque gran parte de la criptografía moderna emplea números primos para generar aleatoriedad, algo que es particularmente problemático para las computadoras y los algoritmos. Como señala Motherboards Liv Boree, el algoritmo de encriptación RSA ampliamente utilizado se basa en el hecho de que se puede obtener cualquier número multiplicando números primos, pero es extremadamente difícil tomar un número muy grande y averiguar qué números primos se multiplicaron para hacer ese número grande. número. En teoría de números, todo número entero mayor que 1 es un número primo en sí mismo o puede representarse como el producto de números primos y esta representación es única. ¿Suena complicado? Bueno, dijimos que es un viaje extraño, pero llegaremos allí.

Para hacer las cosas aún más extrañas, algunos de los problemas matemáticos sin resolver más intrigantes involucran números primos. Por ejemplo, la famosa Conjetura de Goldbach establece que todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos. Esto se ha probado hasta 400.000.000.000.000, pero permanece esencialmente sin probar, siendo uno de los problemas sin resolver más antiguos en la teoría de números y en todas las matemáticas.

números y cristales

El patrón de difracción de electrones de un cristal inorgánico, un óxido de tantalio.

Antes de que podamos volver a los números primos, necesitamos hacer un pequeño desvío. Los químicos, físicos y geólogos a veces estudian los cristales con gran detalle, disparándoles rayos X y observando los diferentes patrones resultantes. Estos patrones son el resultado de la red atómica de los cristales, o cuán simétricamente están dispuestos los átomos.

Mientras que los cristales tienen una estructura atómica ordenada y repetitiva que da como resultado un patrón ordenado, un líquido, cuyos átomos se mueven por todas partes, producirá resultados desordenados y no producirá un patrón. Algo similar, pero no del todo idéntico, sucede con materiales raros llamados cuasicristales que tienen una estructura ordenada, pero no periódica.

Los cuasicristales se parecen a los sólidos porque forman un patrón de puntos brillantes periódicos conocidos como picos de Bragg, ya que los rayos interfieren constructivamente entre sí en intervalos fijos, pero también se parecen a los líquidos porque el patrón no es repetible.

Al darse cuenta de esto, el químico teórico y profesor de Princeton, Salvatore Torquato, tuvo una corazonada: ¿y si los números primos y estos patrones cuasicristalinos tuvieran algo en común? Parecía una posibilidad remota, pero junto con su alumno Ge Zhang y el teórico de números Matthew de-Courcy-Ireland, Torquato representó computacionalmente los números primos como una cadena de átomos y luz que se dispersa fuera de ellos. Los resultados, publicados en tres artículos ( 1 , 2 , 3 ), muestran que así fue: los cuasicristales producen patrones de dispersión que se asemejan a la distribución de los números primos. Esto es diferente a todo lo que hemos visto antes e implica que los números primos son una categoría de estructuras completamente nueva cuando se consideran como un sistema físico, dijo Torquato a Quanta Magazine.

El equipo informa que esto también crea un patrón fractal nunca antes visto, que solo aparece cuando la recta numérica es lo suficientemente larga en tramos más cortos, el patrón no emerge.

Si bien los hallazgos no son tan importantes para la teoría de números (ya que la mayoría de las matemáticas ya se han descrito en varias formas), ofrece una perspectiva física única de un fenómeno matemático y una tentadora. La intersección de las matemáticas abstractas y la física concreta siempre es emocionante y tiene ramificaciones que no siempre son claras. Por ahora, esto podría ser útil en el estudio de patrones no repetitivos y teoría de dispersión.

Quizás, por último, esta es solo una hermosa representación de las matemáticas.

Lo hermoso de esto es que nos da una visión de los cristalógrafos de cómo se ven los números primos, dijo Henry Cohn, matemático de Microsoft Research New England y el Instituto de Tecnología de Massachusetts.

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