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Imagen: Universidad de Rochester

Pi o es la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. No importa cuán grande o pequeño sea el círculo, la razón permanece igual y la constante ha demostrado ser indispensable para los matemáticos. A lo largo de los siglos, calcular pi como un número irracional, por lo que su representación decimal nunca termina (las supercomputadoras lograron calcular billones de dígitos para pi) ha demostrado ser una búsqueda entretenida y emocionante para los matemáticos. El primer cálculo de pi fue realizado por Arquímedes de Siracusa (287212 aC), uno de los más grandes matemáticos del mundo antiguo. Arquímedes puso entre paréntesis un círculo con polígonos, lo que le permitió dividir el círculo en cuadrados. Utilizando el teorema de Pitágoras y el perímetro de un cuadrado, ambos conocidos por Arquímedes, el sabio griego usó este truco con polígonos de 96 lados para estimar correctamente Pi en aproximadamente dos dígitos (3,14), demostrando 3,1408 < Pi < 3,1428 .

Hasta la llegada del cálculo y la computación de series infinitas, no se añadieron muchos dígitos a los encontrados por Arquímedes durante más de 1500 años. En 1655 se hizo un gran avance cuando el matemático inglés derivó una fórmula para pi como el producto de una serie infinita de razones. Por extraño que parezca, pero no tan sorprendente considerando la prevalencia de pi en la naturaleza, los investigadores de la Universidad de Rochester llegaron a la misma fórmula mientras calculaban las estadísticas de energía mecánica cuántica del hidrógeno.

En la mecánica cuántica, se puede utilizar una técnica llamada enfoque variacional para aproximar los estados de energía de los sistemas cuánticos, como las moléculas, que no se pueden resolver con exactitud. Carl Hagen, físico de partículas de la Universidad de Rochester, se acostumbró a enseñar la técnica a sus alumnos aplicándola al hidrógeno. Lo que pasa con el átomo de hidrógeno es que sus niveles de energía se pueden calcular directamente utilizando los cálculos cuánticos desarrollados por el físico danés Niels Bohr a principios del siglo XX. Al aplicar el enfoque variacional y luego comparar el resultado con la solución exacta, los estudiantes podrían calcular el error en la aproximación. Pero después de que el mismo Hagen comenzara a resolver el problema, notó una tendencia peculiar: el error del enfoque variacional era de alrededor del 15 por ciento para el estado fundamental del hidrógeno, del 10 por ciento para el primer estado excitado, y seguía reduciéndose a medida que aumentaban los estados excitados. .

Dos páginas del libro Arithmetica Infinitorum, de John Wallis.

Hagen necesitaba apoyo, por lo que reclutó a la matemática Tamar Friedmann para que lo ayudara. Los dos encontraron que la razón rendía efectivamente la fórmula de Wallis para .

Específicamente, el cálculo de Friedmann y Hagen resultó en una expresión que involucra funciones matemáticas especiales llamadas funciones gamma que conducen a la fórmula

que se puede reducir a la fórmula clásica de Wallis.

No solo encontramos pi, dijo Friedmann, profesor asistente visitante de matemáticas e investigador asociado de física de alta energía, y coautor de un artículo publicado esta semana en el Journal of Mathematical Physics . Encontramos la fórmula clásica de Wallis del siglo XVII para pi, lo que nos convierte en los primeros en derivarla de la física, en general, y de la mecánica cuántica, en particular.

El valor de pi ha adquirido un estatus mítico, en parte, porque es imposible escribirlo con un 100 por ciento de precisión, dijo Friedmann. Ni siquiera se puede expresar con precisión como una proporción de números enteros y, en cambio, se representa mejor como un fórmula.

Es increíble ver a pi aparecer de una manera tan natural, sin círculos involucrados en absoluto. Y qué elegante encontrar esta conexión llegando a los mismos resultados que un matemático del siglo XVII.

Esta derivación de pi es una sorpresa de lo familiar, como un truco de magia, dijo Moshe Machover del Kings College de Londres, que no participó en el estudio. Un niño que ve un truco hecho por primera vez solo puede sorprenderse. Pero un adulto, que ha visto numerosos trucos a lo largo de los años, experimenta tanto sorpresa como familiaridad.

La naturaleza había guardado este secreto durante los últimos 80 años, dijo Friedmann. Me alegro de que lo hayamos revelado.

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